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内容简介
本书是本科生“微分几何”课程的教材,是数学专业主干基础课。全书共分七章,讲授微分几何的基础理论和方法。
编辑推荐
陈维桓《微分几何》是北京大学出版社长期打磨的本科生教材,2025年新版延续了内容系统、叙述严谨的传统。全书七章覆盖曲线论与曲面论的基本框架,从弧长参数化、曲率挠率到第一第二基本形式、高斯曲率与测地线等核心概念,按课程节奏逐步推进。亮点在于理论展开与计算训练并重:定义、定理与例题衔接紧密,配图辅助建立几何直观,便于课堂跟进与课后自学。对数学专业学生而言,它是打通古典微分几何与后续流形、黎曼几何课程的可靠桥梁;对考研复习者,其知识体系与常见考点对应清晰。阅读时应以动笔推导为主,把公式与图形对照理解,避免只记结论。教材篇幅有限,部分拓展内容需配合习题课或参考书补充,整体更适合作为学期主教材而非速查手册。
适合谁读
适合
- 数学专业本科生,正在修读微分几何主干课程
- 准备数学类考研、需要系统梳理曲线曲面理论的考生
- 已学高等数学与线性代数、想补齐古典微分几何基础的自学者
- 高校教师,需要一本结构清晰的课程教学用书
不适合
- 仅具备高中数学基础、未学过多变量微积分的读者
- 希望快速了解微分几何思想而不愿做公式推导的科普型读者
- 已系统学过现代微分流形、寻求前沿专题的研究者
阅读建议
- 先通读每章引言,明确本章要解决什么几何问题,再进入定义与定理
- 准备纸笔逐节重推关键定理,把曲率、挠率等量与图形对照理解
- 每章结束后独立完成课后习题,错题回查对应定义,不急于翻答案
- 与流形或黎曼几何教材对照阅读时,记录古典结论与一般理论的对应关系
出版社简介
北京大学出版社
中国 · 成立于 1979 年
北京大学出版社是一家综合性大学出版社,其出版方向涵盖古典文学、科学科普、社会文化、世界史、西方哲学与文化等领域。库内收录图书6031种,代表性图书包括《红楼梦》《狭义与广义相对论浅说(第15版)(附爱因斯坦关于统一场论及其他经典论文)》《几何原本》《圆锥曲线论》《东晋门阀政治》《神话哲学(上卷)》《神话哲学(下卷)》《海陆的起源》等。代表作者有曹雪芹、周汝昌、爱因斯坦、欧几里得、阿波罗尼奥斯、田余庆、谢林、先刚等。该社在古典文学与西方哲学原典译介方面形成特色,兼及科学经典与社会文化研究。因公开资料有限,此处仅依据库内图书呈现其出版方向,不作额外延伸。
目录
- 版权信息
- 内容简介
- 作者简介
- 前言
- 绪论
- 第一章 预备知识
- 1.1 三维欧氏空间中的标架
- 1.2 向量函数
- 第二章 曲线论
- 2.1 正则参数曲线
- 2.2 曲线的弧长
- 2.3 曲线的曲率和Frenet标架
- 2.4 曲线的挠率和Frenet公式
- 2.5 曲线论基本定理
- 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开
- 2.7 存在对应关系的曲线偶
- 2.8 平面曲线
- 第三章 曲面的第一基本形式
- 3.1 正则参数曲面
- 3.2 切平面和法线
- 3.3 第一基本形式
- 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性
- 3.5 保长对应和保角对应
- 3.6 可展曲面
- 第四章 曲面的第二基本形式
- 4.1 第二基本形式
- 4.2 法曲率
- 4.3 Weingarten映射和主曲率
- 4.4 主方向和主曲率的计算
- 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开
- 4.6 某些特殊曲面
- 第五章 曲面论基本定理
- 5.1 自然标架的运动公式
- 5.2 曲面的唯一性定理
- 5.3 曲面论基本方程
- 5.4 曲面的存在性定理
- 5.5 Gauss定理
- 第六章 测地曲率和测地线
- 6.1 测地曲率和测地挠率
- 6.2 测地线
- 6.3 测地坐标系和法坐标系
- 6.4 常曲率曲面
- 6.5 曲面上切向量的平行移动
- 6.6 Gauss-Bonnet公式
- 第七章 活动标架和外微分法
- 7.1 外形式
- 7.2 外微分式和外微分
- 7.3 E3中的标架族
- 7.4 曲面上的正交标架场
- 7.5 曲面上的曲线
- 7.6 应用举例
- 附录
- 1 关于微分方程的几个定理
- 2 自共轭线性变换的特征值
- 3 用MATHEMATICA做的课件
- 习题解答和提示
- 参考文献
- 索引
常见问题
没有学过多变量微积分能直接读这本书吗?
不建议。微分几何大量使用偏导数、向量分析、隐函数与积分等工具,曲线曲面的参数化与基本形式计算都建立在这些内容上。至少应先掌握高等数学中的多元微积分和线性代数基础,再进入本书会比较顺畅。
这本书适合作为考研复习的唯一教材吗?
可以作为主线教材,但不宜作为唯一资料。它体系完整、与课程考点对应清楚,适合打基础;复习时还应结合报考院校的考试范围与历年题型,补充习题集或笔记,针对重点章节做强化训练。
书中的计算很多,怎样读才不陷进公式里?
建议每引入一个几何量,先弄清它刻画什么性质,再记公式。推导时画草图辅助,把参数变换与图形变化对应起来。遇到繁复计算先抓步骤结构,理解为何这样设参数、为何选这个坐标系,公式便不再是孤立符号。
读者评论
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作者简介
陈维桓
作者
陈维桓是中文数学教材领域的作者,公开资料有限,其生平、学历与任职信息未见明确记载。从库内收录的作品看,他著有《微分几何》及其第二版,内容围绕微分几何这一数学分支展开,属于高校数学课程常用的教材类读物。该书以第二版形式再版,说明初版在教学中获得了一定的使用与反馈,作者也借此对内容作了修订与完善。库内将其归入考试分类,可见其写作偏重知识要点的梳理与训练,适合学生复习备考之用。总体而言,陈维桓的著述数量不多,主要贡献在于以清晰、系统的方式呈现微分几何的基础内容,为学习者提供了一部结构完整、便于查阅的中文教材。